Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-b，a，b∈R
（1）當(dāng)a=

1

2

，b=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[m，m+1]（0＜m＜

1

4

）上的值域
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，求b的取值范圍（a表示）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）=x|x-

1

2

|=

x( 1 2 -x)，m≤x≤ 1 2 x(x- 1 2 )， 1 2 ＜x≤m+1

；分別求最值，再求在[m，m+1]上的值域；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立可化為f_max（x）＜0；從而化為函數(shù)的最值問題求解．

解答： 解：（1）f（x）=x|x-

1

2

|=

x( 1 2 -x)，m≤x≤ 1 2 x(x- 1 2 )， 1 2 ＜x≤m+1

；
當(dāng)m≤x≤

1

2

時(shí)，0≤f（x）≤

1

16

；
當(dāng)

1

2

＜x≤m+1；
則0＜f（x）≤（m+1）（m+

1

2

）；
故函數(shù)f（x）在x∈[m，m+1]（0＜m＜

1

4

）上的值域?yàn)閇0，（m+1）（m+

1

2

）]；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立可化為f_max（x）＜0；
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x|x-a|-b在[0，1]上是增函數(shù)，
f_max（x）=f（1）=1-a-b＜0；
故b＞1-a；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
f（x）=x|x-a|-b在[0，a]上的最大值為(

a

2

)2-b；
在[a，1]上的最大值為1-a-b；
故當(dāng)(

a

2

)2-（1-a）=

a2+4a-4

4

≥0，即a≥2

2

-2，
即當(dāng)2

2

-2≤a＜1時(shí)，
(

a

2

)2-b＜0，故b＞(

a

2

)2；
當(dāng)0＜a＜2

2

-2時(shí)，1-a-b＜0，
故b＞1-a；
③當(dāng)1≤a＜2時(shí)，f（x）=x|x-a|-b在[0，1]上的最大值為(

a

2

)2-b，
故(

a

2

)2-b＜0，故b＞(

a

2

)2；
②當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）=x（a-x）-b在[0，1]上的最大值為a-1-b，
故a-1-b＜0，故b＞a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．