Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）證明： 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡可得，對(duì)進(jìn)行討論可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）可得時(shí)，無極值；結(jié)合（Ⅰ）可得時(shí)， 的極小值為，而當(dāng)時(shí)， 恒成立，可得極小值即為最小值，故充分性成立，可以舉出反例當(dāng)時(shí)，必要性不成立.

試題解析：（Ⅰ）由，得．

令，得，或．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)： ；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)： ， ．

（Ⅱ）① 當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)無極值．

② 當(dāng)時(shí)， ， 的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以， 時(shí)， 的極小值為．

又時(shí)， ，

所以，當(dāng)時(shí)， 恒成立．

所以， 為的最小值．

故是函數(shù)存在最小值的充分條件．

③ 當(dāng)時(shí)， ， 的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗	極大值	↘

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

又，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也存在最小值．

所以， 不是函數(shù)存在最小值的必要條件．

綜上， 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．