Question

20．定義在[-10，10]上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）是單調(diào)遞減，f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），則a的取值范圍如何？

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，則有f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增．由配方可得2a²+a+1，3a²-2a+1均恒正，即有2a²+a+1＜3a²-2a+1，結(jié)合3a²-2a+1≤10，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
則有f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增．
由2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0恒成立，
3a²-2a+1=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0恒成立，
則f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），即為2a²+a+1＜3a²-2a+1，
即a²-3a＞0，解得a＞3或a＜0．
又3a²-2a+1≤10，∴$\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$≤a≤$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$
則a的取值范圍是[$\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．