Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow-\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及在[0，2π]的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和兩角和與差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案，
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow-\frac{1}{2}$cos2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
即f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）上單調(diào)遞增，
又x∈[0，2π]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]上單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知，f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，
∴f（0）=sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式和兩角和與差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．