Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2}{3}$，b=$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上的點(diǎn)，求證：以PF₂為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切；
（3）過(guò)左焦點(diǎn)F₁作互相垂直的弦MN與GH，判斷MN的中點(diǎn)與GH的中點(diǎn)所在直線l是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，說(shuō)出理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，即b=$\sqrt{5}$，即可求得a，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由O為F₁F₂中點(diǎn)，Q為PF₂中點(diǎn)，OQ∥PF₁，OQ=$\frac{1}{2}$PF₁，則OQ=a-$\frac{1}{2}$PF₂，即可證明圓O與圓Q相切；
（3）分類(lèi)當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得MN中點(diǎn)S，GH中點(diǎn)T，直線的兩點(diǎn)式，整理即可求得x₀；當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，中點(diǎn)分別為F₁、O，顯然F₁O所在直線為y=0，也過(guò)（-$\frac{9}{7}$，0）．

解答 解：（1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
由b=$\sqrt{5}$，解得：a²=9，
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；…（3分）
（2）證明：由（1）知c=2，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
連結(jié)PF₁，設(shè)PF₂中點(diǎn)Q
∵O為F₁F₂中點(diǎn)，Q為PF₂中點(diǎn)
∴OQ∥PF₁，OQ=$\frac{1}{2}$PF₁…（5分）
∴OQ=$\frac{1}{2}$PF₁=$\frac{1}{2}$（2a-PF₂）=a-$\frac{1}{2}$PF₂，
∴圓O與圓Q相切（內(nèi)切）．…（8分）
（3）1°當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，
設(shè)MN方程為x=my-2，m∈R，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得（5m²+9）y²-20my-25=0…（10分）
∴y₁+y₂=$\frac{20m}{5{m}^{2}+9}$，則x₁+x₂=$\frac{-36}{5{m}^{2}+9}$，
∴MN中點(diǎn)S（$\frac{-36}{5{m}^{2}+9}$，$\frac{20m}{5{m}^{2}+9}$）…（12分）
用-$\frac{1}{m}$代S點(diǎn)坐標(biāo)中的m，可得
GH中點(diǎn)T（$\frac{-18{m}^{2}}{5+9{m}^{2}}$，$\frac{-10m}{5+9{m}^{2}}$）…（13分）
設(shè)過(guò)x軸上的定點(diǎn)為（x₀，0）
∴$\frac{\frac{10m}{5{m}^{2}+9}}{\frac{-18}{5{m}^{2}+9}-{x}_{0}}$=$\frac{\frac{-10m}{5+9{m}^{2}}}{\frac{-18{m}^{2}}{5+9{m}^{2}}-{x}_{0}}$，
化簡(jiǎn)得（14x²+18）m²+14x₀+18=0，
∵m∈R，
∴14x₀+18=0，即x₀=-$\frac{9}{7}$，
∴過(guò)定點(diǎn)（-$\frac{9}{7}$，0）．…（15分）
2°當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，中點(diǎn)分別為F₁、O，
顯然F₁O所在直線為y=0，也過(guò)（-$\frac{9}{7}$，0），
綜上，直線l過(guò)定點(diǎn)（-$\frac{9}{7}$，0）．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．