Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)x∈[0，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式即可計(jì)算得解．
（2）由已知可求-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$（cos²x-sin² x）+2sinxcosx
=-$\sqrt{3}$cos 2x+sin 2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\sqrt{3}$≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，
∴值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．