Question

20．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{n}（n≥2，n∈N）$．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入函數(shù)表達式求出b的值，求出函數(shù)的導數(shù)，得到切線方程，求出a的值；求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）由（1）可知當x＞1時，f（x）=lnx-x+3＜f（1）=2，即lnx＜x-1，（x＞1），所以當x≥2時，$0＜\frac{lnx}{x}＜\frac{x-1}{x}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：因為f（1）=-b+3=2，所以b=1；
又$f'（x）=\frac{x}+alnx+a-b=\frac{1}{x}+alnx+a-1$，
而函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2，
所以f'（1）=1+a-1=0，所以a=0；                           …（4分）
故f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當x＞1時，f'（x）＜0；所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x）有極大值f（1）=2，無極小值．…（6分）
（2）證明：由（1）可知當x＞1時，f（x）=lnx-x+3＜f（1）=2，即lnx＜x-1，（x＞1），
所以當x≥2時，$0＜\frac{lnx}{x}＜\frac{x-1}{x}$，
所以$\frac{ln2}{2}＜\frac{1}{2}$，$\frac{ln3}{3}＜\frac{2}{3}$，$\frac{ln4}{4}＜\frac{3}{4}$，…，$\frac{lnn}{n}＜\frac{n-1}{n}$，
所以$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$
即$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}＜\frac{1}{n}（{n≥2，n∈{N}}）$．                    …（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，考查不等式的證明，是一道中檔題．