Question

在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2c²=（2a-b）a+（2b-a）b．
（1）求角C的大�。�
（2）求2cosA+2cosB的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）先化簡已知等式，得到a²+b²-c²=ab，再由余弦定理，即可得到C；
（2）由C=

π

3

，則A+B=

2π

3

，可令A(yù)=

π

3

-α，B=

π

3

+α（-

π

3

＜α＜

π

3

），再由兩角和差的余弦公式化簡整理，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由2c²=（2a-b）a+（2b-a）b，
化簡得，a²+b²-c²=ab，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
由于0＜C＜π，則C=

π

3

；
（2）由C=

π

3

，則A+B=

2π

3

，
可令A(yù)=

π

3

-α，B=

π

3

+α（-

π

3

＜α＜

π

3

），
則2cosA+2cosB=2[cos（

π

3

-α）+cos（

π

3

+α）]
=2（

1

2

cosα+

3

2

sinα+

1

2

cosα-

3

2

sinα）
=2cosα，
由-

π

3

＜α＜

π

3

，則

1

2

＜cosα≤1，
當(dāng)α=0，即A=B=C=

π

3

，2cosA+2cosB取得最大值2．

點評：本題考查余弦定理及運用，考查三角函數(shù)的化簡，注意運用兩角和差的余弦公式，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．