Question

14．設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₅=4S₃，a_3n=3a_n+2
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足2^2n-1b_n=a_n-1，其前n項和為T_n，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，計算可得a₁=-$\frac{2}{9}$，d=$\frac{7}{9}$，即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）^2n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₅=4S₃，a_3n=3a_n+2，可得
5a₁+10d=4（3a₁+3d），a₁+（3n-1）d=3（a₁+（n-1）d）+2，
即有7a₁+2d=0，d-a₁=1，
解得a₁=-$\frac{2}{9}$，d=$\frac{7}{9}$，
即有a_n=-$\frac{2}{9}$+$\frac{7}{9}$（n-1）=$\frac{7}{9}$n-1；
（2）2^2n-1b_n=a_n-1，
可得b_n=（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）^2n-1，
可得T_n=（-$\frac{11}{9}$）•$\frac{1}{2}$+（-$\frac{4}{9}$）•（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）^2n-1，
$\frac{1}{4}$T_n=（-$\frac{11}{9}$）•（$\frac{1}{2}$）³+（-$\frac{4}{9}$）•（$\frac{1}{2}$）⁵+…+（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹，
兩式相減可得$\frac{3}{4}$T_n=（-$\frac{11}{18}$）+（$\frac{7}{9}$）•[（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^2n-1]-（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹，
=-$\frac{11}{18}$+$\frac{7}{9}$[$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$]-（$\frac{7}{9}$n-2）•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=-$\frac{52}{81}$-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$（$\frac{7n}{54}$-$\frac{13}{81}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．