Question

18．已知拋物線C：y=mx²（m≠0），直線l：y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N．
（I）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（II）當(dāng)m=2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，若存在，求k的值：若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M，N的坐標(biāo)，再由y=mx²的導(dǎo)數(shù)，可得在點(diǎn)N處的切線斜率，由兩直線平行的條件即可得證；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．由于M是AB的中點(diǎn)，則|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算化簡(jiǎn)整理，即可求得k=±2，故存在實(shí)數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．

解答 （I）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=kx+2代入y=mx²，得mx²-kx-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{m}$．
∵${x}_{N}+{x}_{M}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{k}{2m}$，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{k}{2m}$，$\frac{{k}^{2}}{4m}$）．
∵y′=2mx，∴${y}^{′}{|}_{x=\frac{k}{2m}}=2m•\frac{k}{2m}=k$．
即拋物線C在點(diǎn)N處的切線的斜率為k．
∵直線l：y=kx+2的斜率為k．
∴l(xiāng)∥AB；
（II）解：當(dāng)m=2時(shí)，拋物線C：y=2x²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=2{x}^{2}}\end{array}\right.$，得2x²-kx-2=0．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，且${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$．
由于M是線段AB的中點(diǎn)，∴$|MN|=\frac{1}{2}|AB|$．
由（I）知：${y}_{M}=\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）=\frac{1}{2}（k{x}_{1}+2+k{x}_{2}+2）$
=$\frac{1}{2}[k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]$=$\frac{1}{2}（4+\frac{{k}^{2}}{2}）=2+\frac{{k}^{2}}{4}$．又${y}_{N}=\frac{{k}^{2}}{8}$．
由MN⊥x軸，則$|MN|=|{y}_{M}-{y}_{N}|=\frac{{k}^{2}+16}{8}$．
∵$|AB|=\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4}-4×（-1）}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16+{k}^{2}}$．
由$\frac{16+{k}^{2}}{8}=\frac{1}{4}\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16+{k}^{2}}$，
∴k=±2．
則存在實(shí)數(shù)k=±2，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的條件，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．