Question

3．將函數(shù)f（x）=2sinx+cosx的圖象向右平移φ（φ∈（0，π））個(gè)單位后，所得圖象是一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則tanφ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 先利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡整理然后根據(jù)圖象平移法則，得到平移后函數(shù)的解析式，然后根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)求得φ的值，利用誘導(dǎo)公式即可求值得解．

解答 解：∵f（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ），（其中tanθ=$\frac{1}{2}$），
∴右平移φ（φ∈（0，π））個(gè)單位后，所得函數(shù)的解析式為：y=$\sqrt{5}$sin（x+θ-φ），（其中tanθ=$\frac{1}{2}$），
∵是偶函數(shù)則關(guān)于y軸對(duì)稱，可得：θ-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴tanφ=tan（θ-kπ-$\frac{π}{2}$）=-tan（kπ+$\frac{π}{2}$-θ）=-cotθ=-2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．