【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).

,,①若函數(shù)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;②若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

,且存在兩個極值點,求證:.

【答案】;②;證明見解析.

【解析】

①問題等價于上恒成立,即對任意恒成立,由此得解;②分討論,容易得出結(jié)論;

解法一:表示出,令,求導(dǎo)后易證;令,利用導(dǎo)數(shù)可證,進而得證;解法二:不等式的右邊同解法一;由當(dāng)時,可得,由此得出

,可得證.

解:①因為單調(diào)遞增,所以對任意恒成立,即對任意恒成立,

,即

②由①當(dāng)時,單調(diào)遞增,故成立,符合題意,

當(dāng)時,令,

上遞減,不合題意;

綜上,實數(shù)的取值范圍為.

解法一:因為,存在兩個極值點,

所以有兩個不同的解,故,又,所以

設(shè)兩根為,,則,故,

,因為,所以上遞增,所以;

,,則,

,又,則

,記為,則上遞增,在上遞減,

,所以,即,綜上:.

解法二:不等式的右邊同解法一;

當(dāng)時,恒成立,所以有當(dāng)時,,所以

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展,信息日新月異.為增強全民科技意識,提高公眾科學(xué)素養(yǎng),某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來”為主題的系列活動,并對不同年齡借閱者對科技類圖書的情況進行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機抽取100名,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:

借閱科技類圖書(人)

借閱非科技類圖書(人)

年齡不超過50

20

25

年齡大于50

10

45

1)是否有99%的把握認為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)?

2)該圖書館為了鼓勵市民借閱科技類圖書,規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎勵積分2分,每借閱一本非科技類圖書獎勵積分1分,積分累計一定數(shù)量可以用積分換購自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計值.

i)現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書,記此3人增加的積分總和為隨機變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人,則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?

附:K2,其中na+b+c+d

PK2k

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標系中,已知點,直線,動點到點的距離比它到直線的距離小2.

1)求點的軌跡的方程;

2)設(shè)斜率為2的直線與曲線交于、兩點(點在第一象限),過點軸的平行線,問在坐標平面中是否存在定點,使直線交直線于點,且恒成立?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;

2)若,且滿足,問:函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)能否為0?若能,求出處的導(dǎo)數(shù);若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關(guān)于原點的對稱點為,直線交于點.

1)求橢圓方程;

2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若關(guān)于x的不等式2lnxax2+2a2x+1恒成立,則a的最小整數(shù)值是(

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=|x+1||2x2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+bM

1)求2a2+b2的最小值;

2)求證:aabbab

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果存在常數(shù)k使得無窮數(shù)列滿足恒成立,則稱為數(shù)列.

1)若數(shù)列數(shù)列,,,求

2)若等差數(shù)列數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;

3)是否存在數(shù)列,使得,,,…是等比數(shù)列?若存在,請求出所有滿足條件的數(shù)列;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某外賣平臺為提高外賣配送效率,針對外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:

1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;

2)設(shè)所有50名騎手在相同時間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”,不超過記為“一般”,然后將騎手的對應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;

優(yōu)秀

一般

甲配送方案

乙配送方案

3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認為兩種配送方案的效率有差異.

附:,其中.

0.05

0.010

0.005

3.841

6.635

7.879

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