Question

【題目】已知函數(shù)，其中，，為自然對數(shù)的底數(shù).

若，，①若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；②若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

若，且存在兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】①；②；證明見解析.

【解析】

①問題等價于在上恒成立，即對任意恒成立，由此得解；②分及討論，容易得出結(jié)論；

解法一：表示出，令，求導(dǎo)后易證；令，，利用導(dǎo)數(shù)可證，進而得證；解法二：不等式的右邊同解法一；由當(dāng)時，可得，由此得出

，可得證.

解：①因為單調(diào)遞增，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，

，即；

②由①當(dāng)時，單調(diào)遞增，故成立，符合題意，

當(dāng)時，令得，

在上遞減，不合題意；

綜上，實數(shù)的取值范圍為.

解法一：因為，存在兩個極值點，，

所以有兩個不同的解，故，又，所以，

設(shè)兩根為，，則，，故，

令，因為，所以在上遞增，所以；

又

令，，則，

令得，又，則，

即，記為，則在上遞增，在上遞減，

又，，所以，即，綜上：.

解法二：不等式的右邊同解法一；

由當(dāng)時，恒成立，所以有當(dāng)時，，所以

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