Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABD是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E為棱PA的中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點F，連接EF、DF，則EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，從而平面DEF∥平面PBC，由此能證明DE∥平面PBC．
（2）連接DF，分別取FB，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BC-E的余弦值．

解答 證明：（1）取AB中點F，連接EF、DF，…（1分）
∵E為棱PA的中點，∴EF∥PB，
∵∠CBD=∠FDB=30°
∴DF∥BC
∵EF、DF?平面DEF，PB、BC?平面PBC
∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）
∵DE?平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）
解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交線為AB，
∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，
連接DF，分別取FB，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．…（7分）
則點$A（-\sqrt{3}，0，0）$，B（$\sqrt{3}$，0，0），$C（\sqrt{3}，2，0）$，D（0，3，0），P（0，0，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），…（8分）
設(shè)平面BCP的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，\sqrt{3}）$
則$\overrightarrow{BC}=（0，2，0），\overrightarrow{BP}=（-\sqrt{3}，0，1）$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，∴y=0，x=1，即$\overrightarrow m=（1，0，\sqrt{3}）$…（10分）
設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow n=（a，b，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{BE}=（\frac{{-3\sqrt{3}}}{2}，0，\frac{1}{2}）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}=0}\end{array}\right.$，

∴$a=\frac{1}{3}，b=0$，∴$\overrightarrow n=（\frac{1}{3}，0，\sqrt{3}）$…（11分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴二面角P-BC-E的余弦值為$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．