Question

5．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x-1，則以下判斷中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是減函數(shù)
• B． 直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸
• C． 若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，則函數(shù)f（x）的值域是$[{0，\sqrt{2}}]$
• D． 函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{8}$而得到

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2cos²x+sin2x-1
=2cos²x-1+sin2x=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
∴選項(xiàng)A，函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是減函數(shù)正確；
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$可解得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴選項(xiàng)B，直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸正確．
當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴選項(xiàng)C若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，則函數(shù)f（x）的值域是$[{0，\sqrt{2}}]$錯(cuò)誤；
由函數(shù)圖象變換可知f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{8}$而得到，D正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性以及圖象變換，屬中檔題．