Question

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，，，點 分別是AC、PC的中點，底面AB
（1）求證：平面；
（2）當時，求直線與平面所成的角的大��；
（3）當取何值時，在平面內的射影恰好為的重心？

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）
（3）

19．解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點，
，………………………………（2分）
（Ⅱ）

，



………．．（5分）
又，
PA與平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC內的射影
∵D是PC的中點，
若點F是的重心，則B，F(xiàn)，D三點共線，
∴直線OB在平面PBC內的射影為直線BD，
，即…………………．．（10分）
反之，當時，三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為的重心…………………………．．（12分）
方法二：
，，

以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系（如圖）

設則，
設，則
（Ⅰ）D為PC的中點，
，
又 ，

（Ⅱ），即，
可求得平面PBC的法向量，
，
設PA與平面PBC所成的角為，則
，
（Ⅲ）的重心，
，
，
又，
，即，
反之，當時，三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內的射影為的重心