Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=ln（\frac{1}{2}x+m）$，曲線y=f（x）在點(diǎn)$（-\frac{3}{2}，f（-\frac{3}{2}））$處的切線與直線x+2y=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)g（x）=af（x）+x²有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$0＜\frac{{g（{x_2}）}}{x_1}＜2ln2-1$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得到關(guān)于m的方程，解出即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令k（x）=$\frac{g{（x}_{2}）}{{x}_{1}}$的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k（0）＜k（x）＜k（-1），從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）因?yàn)?f'（x）=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}x+m}}=\frac{1}{x+2m}$，…（2分）
依題意，得$\frac{1}{{-\frac{3}{2}+2m}}=2$，所以實(shí)數(shù)m的值為1．…（4分）
（2）證明：由（Ⅰ）知$g（x）={x^2}+aln（{\frac{1}{2}x+1}）$，所以$g'（x）=\frac{{2{x^2}+4x+a}}{x+2}$，
令φ（x）=2x²+4x+a，函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，即φ（x）=2x²+4x+a=0
在x∈（-2，+∞）上有兩實(shí)根，
則$\left\{\begin{array}{l}△=16-8a＞0\\ φ（{-2}）＞0\end{array}\right.$，所以0＜a＜2，由x₁＜x₂得${x_1}=-1-\frac{{\sqrt{4-2a}}}{2}$，${x_2}=-1+\frac{{\sqrt{4-2a}}}{2}$，
所以-1＜x₂＜0，而${x_1}+{x_2}=-2，2x_2^2+4{x_2}+a=0$，
所以$\frac{{g（{x_2}）}}{x_1}=\frac{{x_2^2-（{2x_2^2+4{x_2}}）ln（{\frac{1}{2}{x_2}+1}）}}{{-2-{x_2}}}$，…（8分）
令$k（x）=\frac{{{x^2}-（{2{x^2}+4x}）ln（{\frac{1}{2}x+1}）}}{-2-x}=\frac{x^2}{-2-x}+2xln（{\frac{1}{2}x+1}）$，x∈（-1，0），
所以$k'（x）=\frac{x^2}{{{{（{x+2}）}^2}}}+2ln（{\frac{1}{2}x+1}）$．令p（x）=k'（x），則$p'（x）=\frac{{2{x^2}+12x+8}}{{{{（x+2）}^3}}}$，
因?yàn)楹瘮?shù)y=2x²+12x+8的對(duì)稱軸為x=-3，所以函數(shù)y=2x²+12x+8在（-1，0）上為增函數(shù)，
由p'（x）=0得$x=\sqrt{5}-3（{x∈（{-1，0}）}）$，
且當(dāng)$x∈（{-1，\sqrt{5}-3}）$時(shí)，p'（x）＜0，當(dāng)$x∈（{\sqrt{5}-3，0}）$時(shí)，p'（x）＞0，
而k'（0）=0，$k'（{-1}）=1+2ln\frac{1}{2}=1-2ln2＜0$，所以當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，k'（x）＜0，
所以k（x）是減函數(shù)，故k（0）＜k（x）＜k（-1），即$0＜\frac{{g（{x_2}）}}{{x{\;}_1}}＜2ln2-1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．