Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)F到直線x=$\frac{a^2}{c}$的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD與y=$\frac{1}{2}$x+2平行，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，及$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，即可求得a和c的值，由橢圓的性質(zhì)b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）AB為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得D點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線OD的方程，根據(jù)兩直線平行的條件，代入求得k的值，代入利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得O到直線AB的距離d，利用三角形面積公式及基本不等式的性質(zhì)可知，S_△OAB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{{m}^{2}+（3-{m}^{2}）}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即求得△OAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵由右焦點(diǎn)F到直線x=$\frac{a^2}{c}$的距離為1，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=1，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
由題意可知：直線AB的斜率存在，且不為0，
設(shè)AB為y=kx+m（m≠0），$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=8（2k²-m²+1）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₀=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，
y₀=kx₀+m=$\frac{-2{k}^{2}m}{1+2{k}^{2}}$+m=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
∴直線OD的方程為y=-$\frac{1}{2k}$x，與y=$\frac{1}{2}$x+2平行，可得-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{2}$，解得：k=-1，
此時(shí)3x²-4mx+2m²-2=0，△=8（3-m²）＞0，
∴0＜m²＜3，
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
丨AB丨=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{4m}{3}）^{2}-4（\frac{2{m}^{2}-2}{3}）}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$，
O到直線AB的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{丨m丨}{\sqrt{2}}$，
∴△OAB面積S_△OAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨m丨}{\sqrt{2}}$，•$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$，=$\frac{\sqrt{2}丨m丨\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$，
∵0＜m²＜3，
S_△OAB═$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{{m}^{2}+（3-{m}^{2}）}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m²=3-m²，即m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，
∴△OAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形面積公式及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．