Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{m{e^x}}}{2}$與函數(shù)g（x）=-2x²-x+1的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)m取值范圍為（　�。�

• A． [0，1）
• B． $[0，2）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$
• C． $（0，2）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$
• D． $[0，2\sqrt{e}）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=m的圖象和函數(shù)h（x）=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$的圖象有2個交點，求出函數(shù)h（x）的單調(diào)性，畫出函數(shù)h（x）的圖象，從而求出m的范圍即可．

解答 解：由題意得：$\frac{{me}^{x}}{2}$=-2x²-x+1，
∴m=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$，
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=m的圖象和函數(shù)h（x）=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$的圖象有2個交點，
h′（x）=$\frac{2（2x+1）（x-2）}{{e}^{x}}$，
故函數(shù)h（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上遞增，
在（-$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞減，且x→+∞時，
h（x）→0，h（-$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{e}$，h（2）=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
作出函數(shù)h（x）的圖象，
如圖示：

觀察圖象得：函數(shù)f（x）和g（x）的圖象有2個不同的交點時，
實數(shù)m∈[0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}，
故選：D．

點評 不同考查了函數(shù)的交點問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．