Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式為 2sin（2x+

π

6

），函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，求得f（x）的單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)條件得 4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，所以當x=

π

8

時，g（x）min=-

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴單調遞減區(qū)間是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）根據(jù)條件得μ=2sin（4x+

5π

6

），當x∈[0，

π

8

]時，4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，
所以當x=

π

8

時，g（x）min=-

3

．

點評：本題考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調性、值域，化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

），是解題的關鍵．