Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=$\sqrt{3}$，cosAsinB+（c-sinA）cos（A+C）=0．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及三角形的內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化求解B的正切函數(shù)值，即可得到結(jié)果．
（2）利用三角形的面積求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．

解答 解：（1）由cosAsinB+（c-sinA）cos（A+C）=0，
得cosAsinB-（c-sinA）cosB=0，
即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，$\frac{sinC}{c}=cosB$，
因為$\frac{sinC}{c}=\frac{sinB}$，所以$\frac{sinB}{\sqrt{3}}=cosB$，則tanB=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$．
（2）由$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得ac=2，…（6分）
由$b=\sqrt{3}$及余弦定理得${（{\sqrt{3}}）^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-ac={（{a+c}）^2}-3ac$，…（8分）
所以a+c=3，所以$sinA+sinC=\frac{sinB}（{a+c}）=\frac{3}{2}$…（10分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．