Question

18．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且$a+2b≤8c，\frac{2}{a}+\frac{3}≤\frac{2}{c}$，則$\frac{3a+8b}{c}$的取值范圍為[27，30]．

Answer 1

分析 令x=$\frac{a}{c}$，y=$\frac{c}$，z=3x+8y，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的不等式，并求出x，y的范圍，作出平面區(qū)域，根據(jù)平面區(qū)域得出z取得最值時(shí)的位置，再計(jì)算z的最值．

解答 解：∵$a+2b≤8c，\frac{2}{a}+\frac{3}≤\frac{2}{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{c}+\frac{2b}{c}≤8}\\{\frac{2c}{a}+\frac{3c}≤2}\end{array}\right.$，設(shè)x=$\frac{a}{c}$，y=$\frac{c}$，則有$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤8}\\{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}≤2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y≤4-\frac{1}{2}x}\\{y≥\frac{3x}{2x-2}}\\{1＜x＜8}\end{array}\right.$，
作出平面區(qū)域如圖所示：

令z=$\frac{3a+8b}{c}$=3x+8y，則y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z最大；
當(dāng)直線y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$與曲線y=$\frac{3x}{2x-2}$相切時(shí)，截距最小，即z最小．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=4-\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{3x}{2x-2}}\end{array}\right.$得A（2，3），∴z的最大值為3×2+8×3=30，
設(shè)直線y=-$\frac{3}{8}x$+$\frac{z}{8}$與曲線y=$\frac{3x}{2x-2}$的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則（$\frac{3x}{2x-2}$）′|${\;}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{3}{8}$，即$\frac{-6}{（2{x}_{0}-2）^{2}}$=-$\frac{3}{8}$，解得x₀=3，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，$\frac{9}{4}$），∴z的最小值為3×3+8×$\frac{9}{4}$=27．
∴27≤z≤30，
故答案為：[27，30]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，將三元不等式轉(zhuǎn)化為二元不等式，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．