Question

設(shè)有一個容積V一定的鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，當(dāng)總造價最少時，桶高為（　�。�

• A、

  1

  2

  3	2V π

• B、

  1

  2

  3	V 2π

• C、2

  3	2V π

• D、2

  3	V 2π

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)圓柱形鐵桶的底面半徑為r，則其高為

V

πr2

；記單位面積鐵的價格為a，故其總造價y=a（2πr•

V

πr2

+πr²）+3aπr²=a（

2V

r

+4πr²），從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值及最小值點(diǎn)，從而求其高即可．

解答： 解：設(shè)圓柱形鐵桶的底面半徑為r，則其高為

V

πr2

；
記單位面積鐵的價格為a，
故其總造價y=a（2πr•

V

πr2

+πr²）+3aπr²
=a（

2V

r

+4πr²），
y′=a（-

2V

r2

+8πr）=a

8πr3-2V

r2

；
故當(dāng)r∈（0，

3	V 4π

）時，y′＜0，
當(dāng)r∈（

3	V 4π

，+∞）時，y′＞0；
故y=a（

2V

r

+4πr²）在（0，

3	V 4π

）上是減函數(shù)，
在（

3	V 4π

，+∞）上是增函數(shù)；
故當(dāng)r=

3	V 4π

，即其高為

V

π( 3 V 4π )2

=2

3	2V π

；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時考查了幾何體的表面積的求法，屬于中檔題．