Question

已知實數(shù)x、y滿足4x²+y²-xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由4x²+y²-xy=1，得出2x+y=±

1+5xy

，再根據(jù)不等式2x+y+c＞0恒成立，得出c＞-（2x+y）=

1+5xy

；
利用基本不等式4x²+y²≥2•2x•y，求出xy≤

1

3

，代入上式，求出c的取值范圍．

解答： 解：∵4x²+y²-xy=1，
∴（2x+y）²=1+5xy，
∴2x+y=±

1+5xy

；
又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，
∴2x+y＞-c；
令-

1+5xy

＞-c，
得c＞

1+5xy

；
又∵4x²+y²≥2•2x•y=4xy，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時“=”成立，
∴4xy-xy≤1，
即xy≤

1

3

；
∴c＞

1+5xy

≥

1+5× 1 3

=

2 6

3

；
∴c的取值范圍是（

2 6

3

，+∞）．
故答案為：（

2 6

3

，+∞）．

點評：本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．