已知底面是正方形的四棱錐P-ABCD，PC⊥底面ABCD，E是側棱PC上的動點．
（1）若E為PC的中點，求證：PA∥面BDE；
（2）證明：不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）設AC∩BD=O，可得EO∥PA，再利用直線和平面平行的判定定理證得PA∥面BDE．
（2）由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；由 底面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，利用直線和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，從而證得BD⊥AE．
解答： （1）證明：底面是正方形的四棱錐P-ABCD，PC⊥底面ABCD，設AC∩BD=O，則O為AC的中點．
再根據(jù)E為PC的中點，可得EO∥PA．
∵PA?面BDE，EO?面BDE，∴PA∥面BDE．
（2）證明：由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
再根據(jù) AC∩PC=C，可得BD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，∴BD⊥AE．
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，直線和平面垂直的判定定理的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為4，點H在棱AA上，且HA1=1．點E，F(xiàn)分別為棱B1C，C1C的中點，P是側面BCC1B1內一動點，且滿足PE⊥PF．則當點P運動時，|HP|2的最小值是（　�。�
A、7-
2
B、27-6
2
C、51-14
2
D、14-2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若0＜α＜β＜γ＜2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，則γ-α=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若方程x2-2mx+4=0的兩個不等實數(shù)根在[0，3]內，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在下列結論中：
①函數(shù)y=sin（kπ-x）（k∈Z）為奇函數(shù)；
②函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是
π
2
；
③函數(shù)y=cos(2x+
π
3
)的圖象的一條對稱軸為x=-
2
3
π；
④函數(shù)y=sin(
1
2
x+
π
3
)在[-2π，2π]上單調減區(qū)間是[-2π， -
5π
3
]∪[
2π
3
， 2π]．
其中正確結論的序號為
 
（把所有正確結論的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“4a-1＜0”發(fā)生的概率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別是AB、CD、A1B1、C1D1的中點．求證：平面A1EFD1∥平面BCF1E1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P（-2，0）、Q（2，0）若點M是拋物線y2=4x上的動點，則
|MP|
|MQ|
的最大值為（　�。�
A、1
B、
3
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
kx+1，-1＜x＜1
2x2+kx-1，x≤-1或x≥1

（1）若k=2，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的零點，求k的取值范圍．

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