Question

若0＜α＜β＜γ＜2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，則γ-α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0可得，-cosβ=cosα+cosγ，-sinβ=sinα+sinγ
兩邊同時(shí)平方相加可得，sin²β+cos²β=（cosα+cosγ）²+（sinα+sinγ）²，整理可求cos（γ-α）=-

1

2

結(jié)合0＜α＜β＜γ＜2π可求γ-α．

解答： 解：∵cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0
∴-cosβ=cosα+cosγ，-sinβ=sinα+sinγ
兩邊同時(shí)平方相加可得，sin²β+cos²β=（cosα+cosγ）²+（sinα+sinγ）²
∴1=2+2cosαcosγ+2sinαsinγ
∴2cos（α-γ）=-1，cos（β-α）=-

1

2

∵0＜α＜β＜γ＜2π
∴0＜γ-α＜2π
∴γ-α=

2π

3

或

4π

3

；
故答案為：

2π

3

或

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)sin²β+cos²β=1，從而可得α，γ的基本關(guān)系．