Question

定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：
（�。�對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立；
（ⅱ）f（-5）=-1；
（ⅲ）當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
則給出下列命題：
①f（2009）=-1；
②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根．
其中正確的命題為

 

．（填寫正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由已知求出函數(shù)的周期為6，結(jié)合f（-5）=-1可求得f（2009）=-1；
由-12為周期及函數(shù)為偶函數(shù)求得直線x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
由函數(shù)在[0，3]上為增函數(shù)及x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸可得y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)；
由函數(shù)的增減性、對稱性、奇偶性、周期及f（3）=0可得方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根．

解答： 解：由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)可得，f（-3）=f（3），
∵f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），即f（x+6）=f（x）．
又f（-5）=-1．則
①f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=f（-5）=-1，①正確；
②由（x+6）=f（x），可知6為函數(shù)的周期，則-12為函數(shù)的周期，
∴f（-12+x）=f（x）=f（-x），則x=

-12+x-x

2

=-6為函數(shù)的對稱軸，②正確；
③由x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0可知函數(shù)在[0，3]上為增函數(shù)，
則函數(shù)在[-6，-3]上為增函數(shù)，又x=-6為對稱軸，則在[-9，-6]上為減函數(shù)，③正確；
④∵f（3）=0，
∴f（-3）=0，f（9）=f（6+3）=0，f（-9）=0，結(jié)合函數(shù)的周期為6及函數(shù)的增減性可得方程f（x）=0在[-9，9]上僅有4個根，④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓練了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的用法，是中檔題．