Question

2．函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是區(qū)間（-b，b）上的奇函數(shù)（a，b∈R且a≠-2），則a^b的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{2}}]$
• B． $（{0，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． $（{0，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）求出a的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應(yīng)是定義域的子集，求出b的范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a^b的范圍．

解答 解：∵定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函數(shù)，x∈（-b，b），
∴f（-x）=-f（x），即lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=$-lg\frac{1-ax}{1+2x}$，$\frac{1+ax}{1-2x}$=$\frac{1+2x}{1-ax}$，
∴1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠-2，∴a=2；則函數(shù)f（x）=$lg\frac{1+2x}{1-2x}$，
要使函數(shù)有意義，則$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴（-b，b）⊆（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），∴0＜b≤$\frac{1}{2}$，∵y=2^x是增函數(shù)，
∴a^b的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關(guān)系求出b的范圍，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)定義的運(yùn)用能力．