Question

17．已知函數(shù)y=x²的圖象在點(diǎn)（x₀，${x}_{0}^{2}$）處的切線為l，若l也與函數(shù)y=lnx，x∈（0，1）的圖象相切，則x₀必滿足（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)y=x²的導(dǎo)數(shù)，y=lnx的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切線的方程，可得2x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-x₀²，再由零點(diǎn)存在定理，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
在點(diǎn)（x₀，x₀²）處的切線的斜率為k=2x₀，
切線方程為y-x₀²=2x₀（x-x₀），
設(shè)切線與y=lnx相切的切點(diǎn)為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
可得2x₀=$\frac{1}{m}$，切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＞$\frac{1}{2}$，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{2{x}_{0}}$，可得x₀²-ln（2x₀）-1=0，
令f（x）=x²-ln（2x）-1，x＞1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（$\sqrt{2}$）=2-ln2$\sqrt{2}$-1＜0，f（$\sqrt{3}$）=3-ln2$\sqrt{3}$-1＞0，
則有x₀²-ln（2x₀）-1=0的根x₀∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．