Question

18．已知函數(shù)f（x）=cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將x=$\frac{π}{4}$代入f（x）解析式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得到結(jié)果；
（2）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，變形后，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$•cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{4}$•（cos$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
（2）f（x）=cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．