Question

16．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{x}$+ln$\frac{1}{x}$（a為實數(shù)）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在點（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）已知n∈N^*，求證：ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程的求法，求出斜率切點坐標求解即可．
（2）當a=1時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，當x∈（0，1）時，當∈（1，+∞）時，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，推出ln$\frac{1}{x}$≤$\frac{1-x}{x}$，令x=$\frac{n}{n+1}$，推出ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，然后利用累加法推出結(jié)果．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=1-$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
則f′（$\frac{1}{2}$）=4-2=2，f（$\frac{1}{2}$）=1-2+ln2=ln2-1，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））的切線方程為：
y-（ln2-1）=2（x-$\frac{1}{2}$），
即2x-y+ln2-2=0；
（2）當a=1時，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0，
即f（x）≤f（1）=0，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{x}$≤$\frac{1-x}{x}$，
令x=$\frac{n}{n+1}$，則ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
即ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)n（n+1）=ln（n+1）-ln1
=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln2-ln1）
＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n-2}$+…+$\frac{1}{1}$，
故ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．