Question

18．有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？
（1）女生甲排在正中間；
（2）2名女生不相鄰；
（3）女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；
（4）2名女生中間恰有1名男生．

Answer 1

分析 （1）優(yōu)先安排甲，其他任意排．問(wèn)題得以解決．
（2）利用插空法，先排5名男生，然后在這5人形成的6個(gè)間隔中插入2名女生即可，問(wèn)題得以解決．
（3）先排2名女生，從7個(gè)位置中選出2個(gè)位置，再排5名男生，問(wèn)題得以解決．
（4）選1名男生排在2名女生中間，將這3人看成1個(gè)元素，與4名男生共5個(gè)元素排成一排，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）女生甲排在中間，其余6人有$A_6^6$種排法，
因此不同排法種數(shù)為$A_6^6=720$．      …（3分）
（2）將5名男生排成一排，有$A_5^5$種排法；
2名女生可以在每2名男生之間及兩端共6個(gè)位置中選出2個(gè)排，有$A_6^2$種排法，
因此不同排法種數(shù)為$A_5^5A_6^2=3600$．       …（6分）
（3）先排2名女生，從7個(gè)位置中選出2個(gè)位置，有$C_7^2$種排法；
再排5名男生，將5名男生在剩下的5個(gè)位置上進(jìn)行排列的方法數(shù)有$A_5^5$種，
因此不同的排法種數(shù)為$C_7^2A_5^5=2520$．       …（9分）
（4）選1名男生排在2名女生中間，有$C_5^1$種排法，將這3人看成1個(gè)元素，與4名男生共5個(gè)元素排成一排，不同的排法有$A_5^5$種，又因?yàn)?名女生有$A_2^2$種排法，
因此不同的排法種數(shù)為$C_5^1A_2^2A_5^5=1200$．      …（13分）
答：分別有720，3600，2520和1200種不同的排法．     …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了排列中常見(jiàn)方法：特殊元素優(yōu)先安排法，不相鄰元素插孔法，相鄰元素捆綁法的應(yīng)用．