Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

4x+1

，x∈（-1，1）
（Ⅰ）若x∈（0，1）試判斷此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性并利用定義證明；
（Ⅱ）若設(shè)g（x）=f（x）+f（-x），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先，得到f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，然后，結(jié)合單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（Ⅱ）首先，落實(shí)函數(shù)g（x）的表達(dá)式，然后，結(jié)合基本不等式求解其值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，證明如下：
任意設(shè)x₁，x₂∈（-1，1）x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(1+2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+f（-x），
∴g（x）=

2x

4x+1

+

2x

4x+1

，
=2

2x

4x+1

，
=

2

2x+ 1 2x

，
∵2x+

1

2x

≥2，
∴0＜f（x）≤1，
∴值域?yàn)椋?，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和基本性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的定義的證明過(guò)程等知識(shí)，屬于中檔題．