【題目】如圖1,在矩形中,,,為的中點,為中點.將沿折起到,使得平面平面(如圖2).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在點,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)先證明平面.再證明.(2) 以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.(3) 假設(shè)在線段上存在點,使得平面.設(shè),且,根據(jù)平面求得,所以當(dāng)時,平面.
(1)由已知,
因為為中點,所以.
因為平面平面,且平面平面,
平面,所以平面.
又因為平面,所以.
(2)設(shè)為線段上靠近點的四等分點,為中點.
由已知易得.
由(1)可知,平面,
所以,.
以為原點,所在直線分別為軸
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
因為,,
所以.
設(shè)平面的一個法向量為,
因為,
所以 即
取,得.
而 .
所以直線與平面所成角的正弦值
(3)在線段上存在點,使得平面.
設(shè),且,則,.
因為,所以,
所以,
所以,.
若平面,則.即.
由(2)可知,平面的一個法向量,
即,解得,
所以當(dāng)時,平面.
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【題目】如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù)的圖像的交點,那么稱這個點為"好點".下列四個點P1(1,1),P2(1,2),P3(,),P4(2,2)中,"好點"有( )個
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知函數(shù)
(1)若,是否存在,使得為偶函數(shù),如果存在,請舉例并證明,如果不存在,請說明理由;
(2)若,判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)已知,存在,對任意,都有成立,求的取值范圍.
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【題目】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
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【題目】判斷下列命題的真假:
(1)點P到圓心O的距離大于圓的半徑是點P在外的充要條件;
(2)兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件;
(3)是的必要不充分條件;
(4)x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.
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【題目】判斷下列全稱量詞命題的真假:
(1)每一個末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù);
(2)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
(3)對任意負(fù)數(shù)的平方是正數(shù);
(4)梯形的對角線相等
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【題目】如圖,在各棱長均為2的正三棱柱中, 分別為棱與的中點, 為線段上的動點,其中, 更靠近,且.
(1)證明: 平面;
(2)若與平面所成角的正弦值為,求異面直線與所成角的余弦值.
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