Question

已知

a

=（x，0），

b

=（1，y），（

3

a

+

b

）⊥（

3

a

-

b

）．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與曲線C交于A、B兩點，并且A、B在y軸的異側，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用向量垂直的條件，即為數(shù)量積為0，化簡整理即可得到軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把y=kx-1代入3x²-y²=1，運用判別式大于0，和兩根之積小于0，解不等式求交集即可得到．

解答： 解：（1）由(

3

a

+

b

)⊥(

3

a

-

b

)，得到(

3

a

+

b

)•(

3

a

-

b

)=0，
又

a

=(x，0)，

b

=(1，y)，得

3

a

+

b

=(

3

x+1，y)，

3

a

-

b

=(

3

x-1，-y)
∴(

3

x+1)•(

3

x-1)+y•(-y)=0，
故所求的軌跡方程是3x²-y²=1；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把y=kx-1代入3x²-y²=1，得(3-k2)x2+2kx-2=0，由3-k2≠0且△＞0，得-

6

＜k＜

6

且k≠±

3

，
∵A、B在y軸的異側，∴x₁x₂＜0，得到-

3

＜k＜

3

，
綜上，得k∈(-

3

，

3

)．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標公式，考查雙曲線方程和運用，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．