Question

3．設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，g（x）≠0，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（-3）=0，則不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0的解集是（　　）

• A． （-3，0）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析 由條件利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x＜0時，$\frac{f（x）}{g（x）}$是增函數(shù)，故當(dāng)x＞0時，$\frac{f（x）}{g（x）}$也是增函數(shù)，$\frac{f（x）}{g（x）}$的圖象關(guān)于原點對稱．再結(jié)合f（-3）=-f（3）=0，求得不等式的解集．

解答 解：∵當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴當(dāng)x＜0時，$\frac{f（x）}{g（x）}$是增函數(shù)，故當(dāng)x＞0時，$\frac{f（x）}{g（x）}$也是增函數(shù)．
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$為奇函數(shù)，$\frac{f（x）}{g（x）}$的圖象關(guān)于原點對稱，
函數(shù)$\frac{f（x）}{g（x）}$的單調(diào)性的示意圖，如圖所示：
∵f（-3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0，
可得x＜-3 或0＜x＜3，
故原不等式的解集為{x|x＜-3 或0＜x＜3 }，
故選：D．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．