Question

【題目】設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=（a﹣x）|x|．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]對(duì)所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)， ；

當(dāng)x≥0時(shí)， ，∴f（x）在 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)；

當(dāng)x＜0時(shí)， ，∴f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)是減函數(shù)；

綜上可知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0）， ；

（2）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣1）=﹣f（1）；

即（a+1）1=﹣（a﹣1）1；

解得a=0；

∴f（x）=﹣x|x|，f[f（x）]=x3|x|；

∴mx2+m＞f[f（x）]=x3|x|，即 對(duì)所有的x∈[﹣2，2]恒成立；

∵x∈[﹣2，2]，∴x2+1∈[1，5]；

∴ ；

∴ ；

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為

【解析】（1）a=1時(shí)，便可得出 ，從而可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可分別求出x≥0和x＜0時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）可由f（x）為奇函數(shù)得到a=0，從而得到f（x）=﹣x|x|，進(jìn)一步求得f[f（x）]=x3|x|，從而可由mx2+m＞f[f（x）]得到 對(duì)于任意x∈[﹣2，2]恒成立，可由x∈[﹣2，2]得出 ，這樣便可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能得出正確答案．