Question

18．已知點(diǎn)F（-3，0）在以原點(diǎn)為圓心的圓O內(nèi)，且過F的最短的弦長為8，
（1）求圓O的方程；
（2）過F任作一條與兩坐標(biāo)標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過F且垂直與x軸的弦長最短，求出圓O的半徑r，即可求出圓O的方程．
（2）弦AB過F且與兩坐標(biāo)軸都不垂直，可設(shè)直線AB的方程為x=ky-2（k≠0）．并將它代入圓方程x²+y²=5，設(shè)出A，B利用韋達(dá)定理，設(shè)M（m，0），利用k_AM+k_BM=0．求解即可．

解答 解：（1）由題意知：過F且垂直與x軸的弦長最短，設(shè)圓O的半徑為r，則r=5，∴圓O的方程為：x²+y²=25．…（6分）
（2）弦AB過F且與兩坐標(biāo)軸都不垂直，可設(shè)直線AB的方程為x=ky-2（k≠0）．
并將它代入圓方程x²+y²=5，
得：（ky-3）²+y²=25，即：（k²+1）y²-6ky-16=0
設(shè)$A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}），則{y_1}+{y_2}=\frac{6k}{{{k^2}+1}}，{y_1}{y_2}=\frac{-16}{{{k^2}+1}}$，
設(shè)M（m，0），∵∠AMB被x軸平分，∴k_AM+k_BM=0．
即$\frac{y_1}{{{x_1}-m}}+\frac{y_2}{{{x_2}-m}}=0，{y_1}（{x_2}-m）+{y_2}（{x_1}-m）=0$．
即y₁（ky₂-3）+y₂（ky₁-3）-（y₁-y₂）m=0，∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+3）=0．于是：$2k×\frac{-16}{{{k^2}+1}}-\frac{6k}{{{k^2}+1}}×（m+3）=0$．∵k≠0，有16+3（m+3）=0，即$m=-\frac{25}{3}$，∴$M（-\frac{25}{3}，0）$．
（直線假設(shè)用點(diǎn)斜式也可）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．