Question

13．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點$F（\frac{1}{4}\;，\;\;0）$的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是$\frac{1}{4}$．點A，B在曲線C上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點，那么點P（x，y）滿足：$\sqrt{{{（x-\frac{1}{4}）}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$（x＞0），x＞0，由此能求出曲線C的方程；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，A，B兩點位于x軸兩側(cè)，所以y₁y₂＜0，即y₁y₂=-2，再分類討論證明：直線AB恒過定點．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點，
那么點P（x，y）滿足$\sqrt{{{（x-\frac{1}{4}）}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$（x＞0），…（2分）
化簡得y²=x（x＞0）．（不寫x＞0扣一分） …（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=y₁y₂+y₁²y₂²=2，…（6分）
解得y₁y₂=1或y₁y₂=-2．
又因為A，B兩點位于x軸兩側(cè)，所以y₁y₂＜0，即y₁y₂=-2．…（7分）
①當y₁²≠y₂²時，AB所在直線方程為y-y₁═$\frac{1}{y1+y2}$（x-y₁²），…（8分）
令y=0，得x=-y₁y₂=2，即直線AB過定點 （2，0）． …（10分）
②當y₁²=y₂²時，取y₁=$\sqrt{2}$，y₂=-$\sqrt{2}$，則AB所在直線的方程為x=2，
即直線AB過定點 （2，0）． …（12分）
綜上，直線AB恒過定點（2，0）

點評 本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點的直線方程定點的求法，考查了綜合運用所學知識和運算的能力．