Question

19．已知函數(shù)f（x）=-aln（x+1）+$\frac{a+1}{x+1}$-a-1（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意的正整數(shù)n都有（1+$\frac{1}{n}$）^n-a＞e成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用導數(shù)的運算法則可得：f′（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（x+1）^{2}}$，對a分類討論即可得出單調(diào)性．
（Ⅱ）${（1+\frac{1}{n}）^{n-a}}＞e$$?（1-\frac{a}{n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＞0$．令g（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需對?x∈（0，1]，有g(shù)（x）＞0.$g'（x）=f（x）=-aln（x+1）+\frac{a+1}{x+1}-a-1$，利用（Ⅰ），對a分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{-a}{x+1}-\frac{a+1}{{{{（x+1）}^2}}}=-\frac{ax+2a+1}{{{{（x+1）}^2}}}$，
當$a≤-\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，f（x）在$（0，-\frac{2a+1}{a}）$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{2a+1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，
當a≥0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）${（1+\frac{1}{n}）^{n-a}}＞e$$?（1-\frac{a}{n}）ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＞0$．
令g（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需對?x∈（0，1]，有g(shù)（x）＞0.$g'（x）=f（x）=-aln（x+1）+\frac{a+1}{x+1}-a-1$，由（Ⅰ）可知：
①當$a≤-\frac{1}{2}$時，∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增；∴g（x）＞g（0）=0，符合題意．
②當a≥0時，∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；∴g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
③當$-\frac{1}{2}＜a≤-\frac{1}{3}$時，g（x）在$（0，-\frac{2a+1}{a}）$上單調(diào)遞減；
∴當$x∈（0，-\frac{2a+1}{a}）$時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
④當$-\frac{1}{3}＜a＜0$時，g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
∴當x∈（0，1]時g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上可知，a的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．