Question

12．若x，y滿足x²-2xy+3y²=4，則$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$最大值與最小值的和是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．代入x²-2xy+3y²=4，可得$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=$\frac{1}{4}$（2-cos2α-sin2α），再利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：設(shè)x=rcosα，y=rsinα，（r＞0），α∈[0，2π）．
∵x²-2xy+3y²=4，
∴r²cos²α-2rcosαrsinα+3r²sin²α=4，
∴r²（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=4，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（cos²α-2cosαsinα+3sin²α）=$\frac{1}{4}$（1+2sin²α-sin2α）=$\frac{1}{4}$（2-cos2α-sin2α）$\frac{1}{4}$$[2-\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）]$∈$[\frac{2-\sqrt{2}}{4}，\frac{2+\sqrt{2}}{4}]$，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$最大值與最小值的和=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$=1．
故選：B．

點評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式與倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域，考查了換元方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．