Question

13．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，且PA=AC=2，AB=2$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）推導(dǎo)出PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=2$\sqrt{2}$，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答 證明：（1）∵AB是圓O的直徑，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，
∴AC⊥BC，
∵PA垂直于圓O所在的平面，BC?圓O所在平面，
∴PA⊥BC，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）∵PA垂直于圓O所在的平面，∴PA⊥平面ABC，
∵C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，且PA=AC=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC⊥BC，BC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱錐P-ABC的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．