Question

10．設(shè)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）-f（a）}{x-a}$在（a，b）上的單調(diào)性為（　�。�

• A． 單調(diào)遞增
• B． 單調(diào)遞減
• C． 不增不減
• D． 無(wú)法判斷

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到$g′（x）=\frac{f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]}{（x-a）^{2}}$，而由題意可知，x∈（a，b）時(shí)，f′（x）≥0，f（x）-f（a）＞0，從而看出不能判斷g′（x）的符號(hào)，這樣即得出g（x）在（a，b）上的單調(diào)性無(wú)法判斷．

解答 解：根據(jù)題意，x∈[a，b]時(shí)，f′（x）≥0；
∴$g′（x）=\frac{f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]}{（x-a）^{2}}$；
∵x∈（a，b）；
∴f′（x）（x-a）≥0，f（x）-f（a）＞0；
∴不能判斷g′（x）的符號(hào)；
∴g（x）在（a，b）上的單調(diào)性無(wú)法判斷．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，以及增函數(shù)的定義，熟練商的導(dǎo)數(shù)的求法．