Question

7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E為DD₁的中點．
（1）求證：直線AC⊥平面BB₁D₁D；
（2）求直線BD₁與AE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明一條直線垂直一個平面，只需要證明這條直線垂直平面內的兩條相交直線即可．
（2）求異面直線所成的角的值，首先通過平移相交，證明異面直線的角，再進行計算．

解答 解：（1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB₁
又∵AC⊥BD，BD，BB₁?平面BB₁D₁D，BD∩BB₁，
所以AC⊥平面BB₁D₁D；
（2）由題意，設AC∩BD=O，連結OE，則O、E分別是BD、DD₁的中點，所以OE∥BD₁，所以∠OEA=θ就是直線BD₁與AE所成的角．
由（1）知，AC⊥平面BB₁D₁D，又OE?平面BB₁D₁D，所以AC⊥OE．
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，
則$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$，$AE=\sqrt{A{D^2}+D{E^2}}=\sqrt{4{a^2}+{a^2}}=\sqrt{5}a$，
在Rt△AOE中，$sinθ=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{2}a}}{{\sqrt{5}a}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
所以：直線BD₁與AE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的證明方法以及異面直線所成角的計算．屬于基礎題．