Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項和S_n，且a₁=1，{S_n-n²a_n}為常數(shù)列，則a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 利用{S_n-n²a_n}為常數(shù)列，得到n≥2時，S_n-n²a_n=S_n-1-（n-1）²a_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，利用疊乘法，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵{S_n-n²a_n}為常數(shù)列，
∴n≥2時，S_n-n²a_n=S_n-1-（n-1）²a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴a_n=$1•\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}•$…•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．
故答案為：$\frac{2}{n（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查疊乘法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．