Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}\right.$，g（x）=kx-1，若方程f（x）-g（x）=0在x∈（-2，2）有三個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． $（1，ln2\sqrt{e}）$
• B． $（ln2\sqrt{e}，\frac{3}{2}）$
• C． $（\frac{3}{2}，2）$
• D． $（1，ln2\sqrt{e}）∪（\frac{3}{2}，2）$

Answer 1

分析 顯然x=0時(shí)，原方程無解；可化為k=$\frac{f（x）+1}{x}$，討論x＜0，x＞0時(shí)，通過導(dǎo)數(shù)或基本不等式可得最值和單調(diào)區(qū)間，作出φ（x）在x∈（-2，2）圖象，和直線y=k，觀察可得三個(gè)交點(diǎn)的情況，即可得到所求k的范圍．

解答 解：顯然，x=0不是方程f（x）-g（x）=0的根，
則f（x）-g（x）=0，即為k=$\frac{f（x）+1}{x}$，
可設(shè)$k=φ（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}+4，x＜0\\ \frac{1}{x}+lnx，x＞0\end{array}\right.$，
由x＜0，可得φ（x）=x+$\frac{1}{x}$+4≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}$+4=2，
即有φ（x）在x＜0時(shí)，有最大值φ（-1）=2；
當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的導(dǎo)數(shù)為φ′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
在x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）遞增；在0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）遞減．
可得x=1處取得最小值1．
作出φ（x）在x∈（-2，2）圖象得
在1＜k＜ln2+$\frac{1}{2}$或-2-$\frac{1}{2}$+4＜k＜2時(shí)，直線y=k和y=φ（x）的圖象均有三個(gè)交點(diǎn)．
則k的取值范圍是（1，ln2$\sqrt{e}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．