Question

13．設(shè)平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線．
（1）求證：向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與垂直；
（2）若兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的坐標(biāo)形式的運算，兩個向量的數(shù)量積公式，求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．
（2）由條件求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，結(jié)合0≤a≤2π，求得α的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=0，∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．
（2）∵已知兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等，
∴${（\sqrt{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow）}^{2}$，∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow}^{2}$-2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
再結(jié)合|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$-$\frac{1}{2}$cosα=sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，
∴α-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
∵0≤a≤2π，∴α=$\frac{π}{6}$，或α=$\frac{7π}{6}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的判定，兩個向量的坐標(biāo)形式的運算，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．