Question

10．如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如圖（2）．
（Ⅰ）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面EFG；
（Ⅲ）求三棱錐C-EFG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件可得EF∥CD∥AB，利用直線和平面平行的判定定理證得EF∥平面PAB．同理可證，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用兩個平面平行的性質(zhì)可得AP∥平面EFG．
（Ⅱ）證明EF⊥平面PAD，即可證明：平面PAD⊥平面EFG；
（Ⅲ）根據(jù)V_C-EFG=V_G-CEF=$\frac{1}{3}$•S_△CEF•CG，運算求得結(jié)果．

解答 （Ⅰ）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點，
∴EF∥CD∥AB，
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理，EG∥平面PAB，
∵EF∩EG=E，
∴∴平面EFG∥平面PAB，
又AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG…4分
（Ⅱ）證明：∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
又E、F分別是PC、PD的中點的中點
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，
又EF?平面EFG，
則平面PAD⊥平面EFG…8分
（3）解：${V_{C-EFG}}={V_{G-CEF}}=\frac{1}{3}{S_{△CEF}}．GC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$…12分．

點評 本題主要考查直線和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．