Question

3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，3（b²+c²）=3a²+2bc．
（1）若sinB=$\sqrt{2}$cosC，求tanC；
（2）若△ABC的面積S=5$\sqrt{2}$，求邊長a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，進而確定出sinA的值，根據sinB=$\sqrt{2}$cosC，B=π-（A+C），求出tanC的值即可；
（2）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入求出bc的值，已知等式變形，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答 解：（1）∵3（b²+c²）=3a²+2bc，即b²+c²-a²=$\frac{2}{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
又A為三角形內角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵sinB=$\sqrt{2}$cosC，∴sin（A+C）=$\sqrt{2}$cosC，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosC+$\frac{1}{3}$sinC=$\sqrt{2}$cosC，即sinC=$\sqrt{2}$cosC，
∴tanC=$\sqrt{2}$；
（2）∵S=5$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}$bcsinA=5$\sqrt{2}$，
∵sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴bc=15，
∵b²+c²≥2bc，b²+c²=a²+$\frac{2}{3}$bc，
∴a²≥2bc-$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc=20，
∴a≥2$\sqrt{5}$，
則a的最小值為2$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．