考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得2S
n=(n+1)a
n,從而
=
,由此利用累乘法能求出數(shù)列{a
n}的通項公式a
n及S
n.
(2)利用等比數(shù)列前n項和公式求出A
n=(2
n-1)a,由
=
=
(-),利用裂項求和法求出Bn=
(1-
),由此能求出不等式A
n+a
2•B
n<513a成立的最大正整數(shù)n為9.
解答:
解:(1)∵數(shù)列{a
n}的首項a
1=a(a>0),且a
n=
,
∴2S
n=(n+1)a
n,①
2S
n-1=na
n-1,②
①-②,得:2a
n=(n+1)a
n-na
n-1,
∴
=
,
∴
an=a1×××…×=a×
××…×=na,
∴{a
n}是首項和公差均為a的等差數(shù)列,
∴S
n=
(a1+an)=
(a+na)=
a.
(2)A
n=a
1+a
2+a
22+…+a
2n-1=a+2a+4a+…+2
n-1a
=
=(2
n-1)a,
∵
=
=
(-),
∴Bn=
+++…
+=
(1-
+-+…+-)
=
(1-
),
∵A
n+a
2•B
n<513a,
∴a(2
n-1)+2a(1-
)<513a,
∵a>0,∴
2n-<512=2
9∵2
9-
<512,2
10-
>512,
∴不等式A
n+a
2•B
n<513a成立的最大正整數(shù)n為9.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法,考查使得不等式成立的最大整數(shù)的求法,解題時要注意裂項求和法的合理運(yùn)用.