Question

正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

1

an•(1+2log2 bn 5 )

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=5，d＞0，（7-d）（18+d）=100，由此能求出b_n=5•2^n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）確定數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，
∴a₂=5，d＞0，
∵a₁+2，a₂+5，a₃+13構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
∴{b_n}的前3項(xiàng)分別為7-d，10，18+d，
依題意，有（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍），
∴{b_n}的首項(xiàng)b₁=5，公比q=2，
∴b_n=5•2^n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）c_n=

1

an•(1+2log2 bn 5 )

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查裂項(xiàng)法，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．